Project 4.b 复数

简介

复数 (complex number) 定义为 \(z = x + yi\), 其中 \(i^2 = -1\) 称为虚数单位, \(x, y\in \mathbf{R}\) 为实数, 分别称为 \(z\) 的实部 (real part) 和虚部 (imaginary part). 复数的全体记为 \(\mathbf{C} = \{x + yi|x, y \in R\}\). 显然实数是一类特殊的复数 \(\mathbf{R} = \{z\in \mathbf{C}|y=0\}\).

复数的运算

考虑两个复数\(z_1 = x_1 + y_1 i\) 和\(z_2 = x_2 + y_2 i\). \(z_1=z_2\) 当且仅当 \(x_1 = x_2, y_1 = y_2\). 复数的加法和乘法运算规则如下

• 加法 (addition): \[\begin{eqnarray*} z_1 + z_2 = (x_1+x_2) + (y_1+y_2)i \end{eqnarray*}\]

• 乘法 (multiplication): \[\begin{eqnarray*} z_1z_2 = (x_1x_2-y_1y_2) + (x_1y_2 + x_2y_1)i \end{eqnarray*}\]

通过加法和乘法, 可以得到减法:

• 减法 (subtraction):
  \[\begin{eqnarray*} z_1 - z_2 = z_1 + (-1) z_2 = (x_1-x_2) + (y_1-y_2)i \end{eqnarray*}\]

为了定义复数的除法, 首先定义复数 \(z\) 的模长和共轭.

• 模长 (magnitude): \[\begin{eqnarray*} |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}\]

• 共轭 (conjungate): \[\begin{eqnarray*} \bar{z} = x - yi \end{eqnarray*}\]

由共轭的定义可以得到 \(z\bar{z} = |z|^2\), 由此可以定义 \(z\) 的倒数:

• 倒数 (reciprocal): \[\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} \end{eqnarray*}\]

由此可以定义复数的除法:

• 除法 (division): \[\begin{eqnarray*} \frac{z_1}{z_2} = z_1 \frac{1}{z_2} = z_1 \frac{\bar{z_2}}{|z_2|^2} =\frac{(x_1x_2 + y_1y_2) - (x_1y_2 - x_2y_1)i}{x_2^2 + y_2^2} \end{eqnarray*}\]

极坐标形式 (Polar Form)

根据定义, 复数 \(z\) 可以看成复平面上的一个点, 并使用极坐标表示: \[\begin{eqnarray*} z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi), \ \ \text{ 其中 } \ r \in [0, \infty), \varphi \in (-\pi, \pi] \end{eqnarray*}\]                                                    

由欧拉公式\(e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi\), 可得 \[\begin{eqnarray*} z=re^{i\varphi}. \end{eqnarray*}\]

在极坐标下复数的加法和减法可以看成复平面上向量的加法和减法, 乘法和除法也有清晰的几何意义.

\[\begin{eqnarray*} z_1z_2 & = & r_1r_2e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} = r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) \\ \frac{z_1}{z_2} & = &\frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)) \end{eqnarray*}\]

在极坐标下可以方便的定义复数的指数函数, 对数函数和幂函数: \[\begin{eqnarray*} e^{z} &=& e^{r(\cos\varphi + i\sin\varphi)} = e^{r\cos\varphi}(\cos(r\sin\varphi) + i\sin(r\sin\varphi)) \\ \ln z &=& \ln(re^{i\varphi}) = \{\ln r + (\varphi + 2k\pi)i | k为整数\} \\ z^a &=& e^{\ln z^a} = e^{a\ln z} = \{e^{a (\ln r +(\varphi + 2k\pi)i)}| k为整数\} \end{eqnarray*}\]

实验内容

1. 定义 ComplexCart 类, 它使用笛卡尔坐标系来代表复数, 包含以下 API 且为不可变的 (immutable).

   方法   说明
   ComplexCart(double real, double imag)	构造函数
   ComplexCart add(ComplexCart x)	返回与x的和
   ComplexCart subtract(ComplexCart x) 返	回与x的差
   ComplexCart multiply(ComplexCart x)	返回与x的积
   ComplexCart divide(ComplexCart x)	返回与x的商
   ComplexCart reciprocal()	返回倒数
   ComplexCart conjugate()	返回共轭
   double abs()	返回模长
   double getRealPart()	返回实部
   double getImaginaryPart()	返回虚部
   boolean equals(ComplexCart x)	是否等于x
   String toString()	字符串表示

2. 思考并回答以下问题:

   • 在 API 中加入方法 ComplexCart add(ComplexCart x, ComplexCart y) (返回三个复数的和)是否合适?

   • 在 API 中加入方法 ComplexCart scale(double f) (返回与一个实数的乘积) 是否合适?

   • 在 API 中加入方法 boolean isReal() (返回是否是实数) 是否合适?

   • 在 API 中加入方法 void setRealPart(double a) (将实部修改为a) 是否合适?

   • 在 API 中去掉方法 double abs() 是否合适? (由定义, 模长可以通过乘法计算得到)

   • 在 API 中去掉除法 ComplexCart divide(ComplexCart x) 是否合适? (由定义, 除法可以由倒数和乘法得到)

   • 在 API 中去掉方法 double getRealPart() 是否合适? (直接访问实部)

   • 以下两种使用方法哪一种更好? 为什么?

     ComplexCard a = new ComplexCart(1, 2);
     ComplexCard b = new ComplexCart(3, 4);
     
     double real = a.getRealPart() + b.getRealPart();
     double imag = a.getImaginaryPart() + b.getImaginaryPart();
     ComplexCard c = new ComplexCart(real, imag);

     ComplexCard a = new ComplexCart(1, 2);
     ComplexCard b = new ComplexCart(3, 4);
     ComplexCard c = a.add(b);

3. 使用极坐标实现复数类 ComplexPolar , 包含相同的 API .

4. 为ComplexCart类增加方法 ComplexPolar toPolar() 返回它的极坐标表示. 同样, 为 ComplexPolar 增加方法 ComplexCart toCartesian() 返回它的笛卡尔坐标表示.

5. 为 ComplexPolar 类增加下列 API.

   方法   说明
   ComplexPolar exp()	返回 \(e^z\)
   ComplexPolar log()	返回 \(\ln z\) (取k=0)
   ComplexPolar pow(double a)	返回 \(z^a\) (取k=0)

6. 为 ComplexCart 类增加以上 API.

7. 给定二元一次方程, \(ax^2 + bx +c = 0\), 输出它的根.